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∞ Sistemas de Numeração ∞
Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um conjunto de números é representado por numerais de uma forma consistente.
Em condições ideais, um sistema de numeração deve: representar uma grande quantidade de números úteis, dar a cada número representado uma única descrição (ou pelo menos uma representação padrão), reflectir as estruturas algébricas e aritméticas dos números.
Sistemas digitais são construídos de circuitos que processam números binários.
Num sistema de numeração posicional à posição de cada dígito é atribuído um peso. Para uma base r ≥ 2, um dígito na posição i tem o peso ri.
Notacao:
r≥ 2 – base
di – conjunto de símbolos (alfabeto)
p + n – número de símbolos (p – parte inteira, n – parte fraccionária)
Um número D cuja parte inteira inclui p dígitos e a parte fraccionária n dígitos pode ser representado como:
Sistemas, Bases e Alfabetos
| Sistema | Base | Alfabeto |
| Binário | 2 | 0, 1 |
| Octal | 8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
| Decimal | 10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Hexadecimal | 16 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
Definições e convenções
byte: grupo de 8 bits.
nibble: 1/2 de 1 byte, ou seja , 4 bits.
word: grupo de bits que podem ser processados simultaneamente. Tipicamente: 16, 32, 64, 128 bits (dependendo do processador).
Representação de quantidades numéricas:
Binário: 10100011B, 101000112
Hexadecimal: AF26H, 0xAF26, AF2616
Decimal: 2004, 200410
Unidades:
Segundos: s
Bits: b
Bytes: B
Words: w
Sistema decimal
O sistema decimal é um sistema de numeração posicional que utiliza a base dez.
Baseia-se em uma numeração de posição, onde os dez algarismos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 servem para contar unidades, dezenas, centenas, etc. da direita para a esquerda. Contrariamente à numeração romana, o algarismo árabe tem um valor diferente segundo sua posição no número: assim, em 111, o primeiro algarismo significa 100, o segundo algarismo 10 e o terceiro 1, enquanto que em VIII (oito em numeração romana) os três I significam todos 1.
Assim:
200710 = 2*103 + 0*102 + 0*101 + 7*100
19,8510 = 1*101 + 9*100 + 8*10-1 + 5*10-2
= 1*10 + 9*1 + 8*0.1 + 5*0.01
No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à esquerda do número escrito não altera seu valor representativo. O símbolo zero posto à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).
Prefixos binários
São frequentemente usados para expressar grandes quantidades de bytes, bits, ou bits por segundo (bit/s, bps), são derivados, mas um pouco diferentes dos prefixos (SI) quilo-, mega-, giga- e outros.
Pode-se abreviá-los para os prefixos K, M e G; quilobyte, megabyte, gigabyte, respectivamente. Mbit/s, kbit/s (kbps) etc são usados para abreviar "Megabits por segundo", "quilobits por segundo" etc.
Por serem de uso popular, estes prefixos indicam múltiplos que são semelhantes, mas não iguais, aos factores indicados pelos prefixos correspondentes do Sistema Internacional (SI). No caso, o uso popular em computação frequentemente indica potências de dois, enquanto os prefixos SI são potências de dez. Os números exactos estão listados abaixo.
Prefixos em uso na computação coloquial
| Nome | Símbolo | Potências binárias | Valor SI | Diferença |
| unidade | 20 = 1 | 100 = 1 | 0% | |
| quilo | K | 210 = 1 024 | 103 = 1 000 | 2% |
| mega | M | 220 = 1 048 576 | 106 = 1 000 000 | 5% |
| giga | G | 230 = 1 073 741 824 | 109 = 1 000 000 000 | 7% |
| tera | T | 240 = 1 099 511 627 776 | 1012 = 1 000 000 000 000 | 10% |
| peta | P | 250 = 1 125 899 906 842 624 | 1015 = 1 000 000 000 000 000 | 13% |
| exa | E | 260 = 1 152 921 504 606 846 976 | 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 | 15% |
| zetta | Z | 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 | 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 | 18% |
| yotta | Y | 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 | 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 | 21% |
As potências de 10 são utilizadas frequentemente, por exemplo, para expressar: frequência, taxas de transferência, etc.
As potências de 2 são usadas para expressar quantidade de informação, por exemplo, capacidade de um dispositivo de
armazenamento (memória, disco, ...).
Considera-se que é amplamente difundido que o uso comum do "quilobyte" significa 1024 bytes, quando o valor correcto seria 1000 bytes. Os fabricantes de discos rígidos usam os factores SI, assim aquilo que é anunciado como um disco rígido de 80 GB (80 ×109 bytes) conterá realmente 75 × 230 bytes.
As telecomunicações usam também os factores SI, assim uma conexão de 1 Mbit/s transfere 106 bits por o segundo.
Prefixos IEC padrão
Em 2000, a International Electrotechnical Commission (IEC) publicou Amendment 2 to IEC 60027-2: Letras e símbolos a serem usados na tecnologia eléctrica - Parte 2: Telecomunicações e electrónica. Este padrão, tinha sido aprovado em 1998 e introduziu os prefixos kibi-, mebi-, gibi-, tebi-, pebi-, exbi-, zebi- e yobi- para serem usados para especificar múltiplos binários de uma quantidade.
Os nomes vêm das versões simplificadas dos prefixos originais SI; bi é a abreviatura de "binário".
| Prefixo binário (IEC) | Prefixo do SI | ||||||
| Prefixo | Nome | Símbolo | Múltiplo | Prefixo | Nome | Símbolo | Múltiplo |
| bit | bit | 20 | bit | b | 100 | ||
| byte | B | byte | B | ||||
| kibi | kibibit | Kibit | 210 (210)1 | kilo | kilobit | Kbit | 103 (103)1 |
| kibibyte | KiB | quilobyte | kB | ||||
| mebi | mebibit | Mibit | 220 (210)2 | mega | megabit | Mbit | 106 (103)2 |
| mebibyte | MiB | megabyte | MB | ||||
| gibi | gibibit | Gibit | 230 (210)3 | giga | gigabit | Gbit | 109 (103)3 |
| gibibyte | GiB | gigabyte | GB | ||||
| tebi | tebibit | Tibit | 240 (210)4 | tera | terabit | Tbit | 1012 (103)4 |
| tebibyte | TiB | terabyte | TB | ||||
| pebi | pebibit | Pibit | 250 (210)5 | penta | petabit | Pbit | 1015 (103)5 |
| pebibyte | PiB | petabyte | PB | ||||
| exbi | exbibit | Eibit | 260 (210)6 | exa | exabit | Ebit | 1018 (103)6 |
| exbibyte | EiB | exabyte | EB | ||||
| zebi | zebibit | Zibit | 270 (210)7 | zetta | zettabit | Zbit | 1021 (103)7 |
| zebibyte | ZiB | zettabyte | ZB | ||||
| yobi | yobibit | Yibit | 280 (210)8 | yotta | yottabit | Ybit | 1024 (103)8 |
| yobibyte | YiB | yottabyte | YB | ||||
Sistema binário
O sistema binário é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam utilizando como base o número dois, com o que se dispõe das cifras: zero e um (0 e 1). Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado).
Assim:
11001102 = 1*26 + 1*25 + 1*22 + 1*21
101,00112 = 1*22 + 1*20 + 1*2-3 + 1*2-4
Com efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term). Um agrupamento de 4 bits é chamado de nibble.
O sistema binário é base para a Álgebra booleana, que permite fazer operações lógicas e aritméticas usando-se apenas dois dígitos ou dois estados (sim e não, verdadeiro e falso, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e desligado).
Toda electrónica digital e computação está baseada nesse sistema binário e na lógica de Boole, que permite representar por circuitos electrónicos digitais (portas lógicas) os números, caracteres, realizar operações lógicas e aritméticas. Os programas de computadores são codificados sob forma binária e armazenados sob esse formato.
Sistema octal
Sistema octal é um sistema de numeração posicional cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a representação de quantidade.
O octal foi muito utilizado em informática como uma alternativa mais compacta ao binário na programação em linguagem de máquina. Hoje, o sistema hexadecimal é mais utilizado como alternativa ao binário.
A aritmética deste sistema é semelhante a dos sistemas decimal e binário
Assim:
35778 = 3*83 + 5*82 + 7*81 + 7*80
35,778 = 3*81 + 5*80 + 7*8-1 + 7*8-2
Sistema hexadecimal
O sistema hexadecimal é um sistema de numeração posicional que representa os números em base 16, portanto usa 16 símbolos
Assim:
200716 = 2*163 + 7*160
7D716 = 7*162 + 13*161 + 7*160
A,2C16 = 10*160 + 2*16-1 + 12*16-2
Está vinculado à informática, pois os computadores usam o byte ou octeto como unidade básica da memória, e, devido a um byte representar 28 = 256 valores possíveis, e poder-se representar como:
28 = 24 x 24= 16 x 16 = 1 x 162 + 0 x 161 + 0 x 160
O que, segundo o teorema geral da numeração posicional, equivale ao número 10016, dois dígitos hexadecimais correspondem exactamente a um byte.
Devido ao sistema decimal geralmente usado para a numeração apenas dispor de dez símbolos, deve-se incluir seis letras adicionais para completar o sistema. O conjunto de símbolos fica, portanto, assim:
S = {0, 1, 2, ..., 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Assim A16 = 1010, B16 = 1110 e assim sucessivamente.